Une onde peut être décrite comme un couplage de \(n\) oscillateurs (Oscillateurs couplés)

Formalisme mathématique

On remplace les \(n\) oscillateurs par un approximation du continu.
:
Retrouvons l'équation d'Alembert à une dimension
1
$$
\beginaligned
& d z=a0, z=n \cdot a0 \\
& xn=x\left(n a0, t\right)=x(z, t) \\
& xn \pm 1=x\left(n a0 \pm a0, t\right)=x(z \pm d z, t) \\
& m \fracd^2 xn(t)d t^2=-k\left(xn(t)-xn-1(t)\right)+k\left(xn+1(t)-xn(t)\right) \text devient: \\
& m \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2=-k(x(z, t)-x(z-d z, t))+k(x(z+d z, t)-x(z, t))
\endaligned
$$
2
On introduit dz :
$$
M \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2=-k d z\left(\fracx(z, t)-x(z-d z, t)d z-\fracx(z+d z, t)-x(z, t)d z\right)
$$
\(\mathrm{dz}\) est petit, on peut le faire tendre vers 0 :
$$
\fracx(z, t)-x(z-d z, t)d z \cong \frac\partial x(z, t)\partial z \quad \fracx(z+d z, t)-x(z, t)d z \cong \frac\partial x(z+d z, t)\partial z
$$
On a alors :
$$
M \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2=-k d z\left(\frac\partial x(z, t)\partial z-\frac\partial x(z+d z, t)\partial z\right)
$$
3
$$
M \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2=-k d z\left(\frac\partial x(z, t)\partial z-\frac\partial x(z+d z, t)\partial z\right)
$$
On pose : \(f(z, t)=\frac{\partial x(z, t)}{\partial z}\)
$$
M \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2=-k d z(f(z, t)-(f(z+d z, t))
$$
4
En divisant à nouveau par \(\mathrm{dz}\), on obtient :
$$
\beginaligned
& m \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2=-k d z^2\left(\fracf(z, t)-(f(z+d z, t)d z\right) \\
\Rightarrow \quad & m \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2=-k d z^2\left(-\frac\partial f(z, t)\partial z\right)=+k d z^2\left(\frac\partial^2 x(z, t)\partial z^2\right) \\
\Rightarrow & \frac\partial^2 x(z, t)\partial z^2=\fracmk d z^2 \frac\partial^2 x(z, t)\partial t^2
\endaligned
$$
On retrouve finalement l'Equation d'Alembert à une dimension.
$$\frac{\partial^2x(z,t)}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2x(z,t)}{\partial t^2}$$
Cette équation fonctionne aussi bien pour les ondes transversales et longitudinales.

Vitesse d'une onde

Vitesse de phase
Pour une onde porgressive, on a \(v_\varphi=\frac{\omega}{k}=c\) (relation de dispersion)

Notion d'Impédance

Impédance mécanique